Exemplo resolvido de Equações Diferenciais Ordinárias

Um exercício de Equações Diferenciais
Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à sua área de superfície. Queremos escrever uma equação diferencial que relacione o volume dessa gota de chuva em função do tempo.
Entendendo rapidamente o problema, temos uma gota esférica cujo volume é reduzido de forma proporcional à sua área de superfície. Portanto, a taxa de redução é proporcional à área da superfície. Para isso, precisamos trabalhar com dois pares: volume e área da superfície da gota.
Como por hipótese a gota vai evaporar a uma taxa proporcional à sua área superficial, significa que deve existir um número real a positivo que tem a seguinte propriedade: a taxa de variação é proporcional à área de superfície. Como área de superfície é positiva, o número a também deve ser positivo. Já o número negativo aparece porque o volume está diminuindo.
Dessa forma, temos a seguinte relação:
dV/dt = -aV^(2/3)
Agora precisamos encontrar uma forma de relacionar a superfície em função do volume, para que possamos substituir na equação diferencial. Nesse caso, podemos trabalhar com as equações de volume e área da superfície da esfera.
Volume: V = (4/3)πr^3
Área da superfície: A = 4πr^2
Podemos a partir da equação do volume encontrar r^2, isolar e substituir na equação da área da superfície. Dessa forma, chegamos à relação:
A = 3V^(2/3)
Substituindo essa relação na equação diferencial, temos:
dV/dt = -cV^(2/3), onde c = a(3/4π)^(2/3) é uma constante positiva.
Essa é a equação diferencial que nos dá a taxa de variação do volume em relação ao tempo. É importante notar que, para uma equação diferencial coerente com o problema, o volume deve aparecer em ambos os lados da equação.
Fonte: Exercício resolvido de Equações Diferenciais Ordinárias – Ex. 1 (Gota de chuva esférica) por Matsolve com Prof. José Sérgio

Exemplo resolvido de Equações Diferenciais Ordinárias – Gota de chuva esférica

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