1º Teorema de homomorfismo de grupos 1

Neste vídeo inicia-se a demonstração do teorema mencionado no título.

Vídeo de hoje o conteúdo da parte de teoria de grupos tá apesar de que no livro-texto tem muito mais coisa para se estudar depois mas devido a a ementa que a gente tem que ver e o que ainda falta ser visto que é a parte sobre polinômios né então em geral esse conteúdo interesse de grupos a gente faz até essa parte do primeiro teorema de um morfismo tá então na

Aula passada eu comentei né esse resultado só o enunciado dele a gente vai provar hoje tá bom aí tem dois corolários decorrentes desse teorema e aí a gente encerra com isso essa parte do conteúdo bom então só para relembrar rapidamente o teorema 3 né que a pimenta é ideal morfismo ele ele dá algumas informações acerca de a gente considerar uma movimento e dois

Anéis g&g linha tá então agora a gente considera uma morfismo entre dois anéis gg linha e hoje é que o elemento neutro que a gente chama de gel ou gelinho de elinha tá alimentando eu oi gente tem três coisas que podem ser provadas a respeito desse homomorfismo primeiro é que a imagem de uma mão fiz mousse que é justamente o conjunto que se degenera você já

Que são todos os valores que se dirigir assumir quando a gente varia no domínio esse camarada que é um subgrupo do contradomínio tá claro ele é um subconjunto né do conta do mim tá na verdade que ele tem a dizer que ele é um sub-grupo o entender fala que o esse conjunto em lipsic a gente chama de núcleo morfismo que é formado pelos elementos do domínio tá o

Que precisa de jeová elemento neutro de gelinho tá ele vai ser um subgrupo do domínio só que além disso ele vai ser normal tá em ele é um sentimento normal dg certo e além disso ápice é injetiva se somente se o núcleo da piscina é igual a ao é tá e o item ser e nos diz que se a gente considera ao subir o grupo quociente g concentrado com núcleo que a gente

Pode considerar né porque eu não é normal pelo entender esse isomorfa imagem de pc certo então como eu falei na última aula no final é um resultado bem semelhante ao que a gente pro vou lá na parte de de anéis né gente também tinha um teorema de arrumar o físico para anéis certo aqui no caso entraram de amor eu fiz um para grupos tá bom tá bom vamos lá provar

Isso tá bom então no caso do item a certo no caso do item a gente quer provar que o aquele conjunto imagem né o imc é um sub-grupo dg linha tá a gente vai provar como a gente vai provar usando uma daquelas variações lá do resultado subgrupos a gente vai usar a variação que a gente quis dizer que baixo a gente mostrar que se eu tenho um subconjunto de um grupo g

Parecendo subgrupo ele é não vazio e para quaisquer dois elementos que eu pego neles um deles operado com o inverso do outro pertence a esse conjunto ainda né então vamos lá no caso aqui observe que uma coisa que a gente já pode também falar sobre qualquer um mau fiz um de grupos é que ele leva um né pra gente mostrar que ele é no vazio basta a gente mostrar que

Existe um é esse conjunto que existe um elemento nele pelo menos né então ó como é que a gente vai provar isso a gente vai mostrar vai provar isso a partir do fato de que e qual que é o nome o físico quando eu aplico o elemento neutro do domínio isso vai no elemento neutro do contradomínio tá então de fato isso é verdade sabe quando eu pego decidir é isso vai

Dar o elinha e aí o ele vai pertencer a imagem com isso ele vai ser diferente de vazios conjunto por quê que isso é verdade né a gente consegue provar essa parte dessa igualdade aqui ó eu sei que é operado com dar o próprio é então o que é que eu faço aplicasse nessa igualdade aí deixa ela vai ficar para se aplicar em operado com e do outro lado fica precise

É tá então eu vou ter o que aqui o livro fez o favor de cometer um erro né porque devia ter colocado quando eu é usar o pato que é para ser um morfismo que se de aplicar é operado com e é preciso era operário cúmplice de aí você vai dar igual a esse vier certo e aí se a gente operar com o inverso de precisar de ambos os lados eu vou ficar o que consegui = é

Linha né porque do lado direito à igualdade vai ficar para você deve operado com é esse e do lado esquerdo fica isso e do lado direito que isso aqui então coisa a gente já tem que de fato a imagem desse é um conjunto não vazio tá agora se eu considerar dois elementos quaisquer na imagem né eu chamei aqui preciso de um tecido g2 então eu vou mostrar que quando eu

Faço essa operação aqui que isso é um elemento que pertence a imagem tá bom mas quando eu faço essa operação basta a gente observar o seguinte que eu já comentei isso no último vídeo né quando eu pego um quando eu calculo que se vamos morphism em algum elemento do domínio e olha para o inverso desse camarada o inverso disso aqui é o xxi dg dois a menos um tá

Então ou seja qualquer que seja o morfismo se eu quero calcular seu cálculo que se de jeito que era encontrar ápice de gerar menos um isso f se aplicado no investe de gelo seja no geral menos um certo então isso aqui é preciso de g os dois a menos um do invés de g2 então quando eu usar o fato que é um mobilismo isso aqui eu posso escrever dessa forma tá então ou

Seja isso aqui quando eu pego esse dias camaradas e se dá para você e aplicado num elemento de gente é isso aqui tem um formato é necessário para pertencer a imagem de que se certo aí começa a gente concluir que realmente a imagem descia um homem subgrupo desculpa a imagem do meu fez nosso de grupo do contradomínio tá pronto agora a gente vai mostrar que o núcleo é

Um subgrupo a gente tem três coisas no entender para fazer né mostrar que o núcleo é um subgrupo de g depois mostrar que é um subgrupo normal que ele é normal e por último mostrar que há uma objetiva é equivalente a dizer que o núcleo de uma oficina é formado apenas pelo elemento neutro tá bom então primeiro vamos provar que ele é um subgrupo então nesse caso

Eu vou usar que a outra variação do resultado lá que eu vou mostrar que o elemento neutro de gps e quando eu pego dois elementos quaisquer bom e se eu faço se eu pegar a operação entre ele o resultado disso operação dg claro né se eu falar esses dois ainda pertence ao n e depois vou mostrar aqui para cada elemento no núcleo o inverso dele pertence a ele então aí

Também por isso eu posso eu concluo que ele é um subgrupo tá bom bom aí vamos lá ué uefa intenção núcleo por quê porque a gente provou justamente no item anterior que se vier é o elinha então ou seja ele tem justamente a definição ele ele sabe fazer a definição de pertence ao núcleo né então ok agora se eu pego g1 e g2 no núcleo que é que eu vou fazer

Eu quero mostrar que quando isso quer dizer que preciso de um é a linha que dia 2 l então eu quero mostrar que quando eu pego de um operário com g2 quando é o clipe sinistro ainda também é o elinha bom aplicar então né vai ficar para se aplicado em g1 g2 certo aí usando parte que ser uma morfismo da isso aqui só que pelo já está no núcleo isso aqui é linha e

Pelo fato de deus está no lugar isso aqui também é linha é operada com ele e da própria linha então portanto g1 a operação g3 pertence ao núcleo tá que se the witcher 3 eu vou pegar agora um elemento qualquer do núcleo certo e vou mostrar que o inverso dele também pertence você já vou aplicar psi no gta menos um a menos mostrar aqui também dá é linha mas

Observe como eu falei também no item a pensei de gerar menos um esse é a mesma coisa que o inverso de esse dg sério mas pense de gerar quem gente tá no núcleo eu preciso de gel é linha então vai ficar elinha elevado a menos um mas o inverso do elemento neutro ele próprio tá então coisa a gente tem que o g1 a menos um pertence ao invés de g pertence ao núcleo

Então essa nesses três itens é que a gente prova que o núcleo é um sub-grupo dg tá e pronto agora a gente vai mostrar que o núcleo é normal tá se do grupo normal então para isso que a gente faz pega um elemento qualquer no núcleo pega um elemento qualquer dg e aí tem que mostrar que quando o conjugo esse cara do núcleo por esse alimento qualquer qualquer que

Seja se alimenta no meu quando eu conjunto com qualquer elemento de gerou seja quando eu olho para isso aqui ó que isso aqui temos um mg pertence ainda ao núcleo então o que é que eu vou fazer vou pegar para isso aqui pertence ao núcleo tem que aplicar a piscina ele mostrar aqui se ainda dá o que o elemento neutro da o elinha tá então esse de já menos um lg isso

Aqui como ápice é uma morfismo isso é que a gente pode quebrar dessa forma né na verdade a gente não atenção a gente sempre quebra dois tem que seguir a vezes b x y operado né só que quando eu tenho uma coisa que se escreve atualmente a definição de humorismo é que se eu tenho preciso de uma soma e a foto da diferença qualquer isso é a soma de psiquial claro

Em cada um dos elementos assim ah é desculpa eu falei só mas é operação né a operação de uma quantidade de qualquer de fatores infinito acordar infinita então a gente pode quebrar né pode calcular-se em cada um deles e operar todos eles tá ou seja isso aqui é a mesma coisa que preciso dizer a menos um dentro aqui né cid n precisa d g sabe o que se dirá menos

Um isso é o inverso da cdg aí a gente vai ficar tão que isso aqui com isso aqui não é igual a do lado direito que da igualdade eu uso o fato de que o enem tá no núcleo então se dn elinha tá aí vou ficar com esse g – 1l eu preciso dizer alterando esse a linha ou com esse camarada ou com esse então se operar com esse aqui eu vou ficar com esse dg e aí precisa de

Ao menos um operário que eu preciso de g da elinha tá se operar o é linha com esse dia mesmo a mesma coisa então coisa a gente mostra aqui o camarada aqui ó quem pertence a ao núcleo para qualquer do que pertence ao núcleo e para todos g em g ou seja ele é normal em g tá é bom agora por fim a gente vai mostrar a última parte certo que seja a assistem injetiva

Equivalente a um núcleo formado apenas pelo elemento neutro dg bom aí pessoal eu fiz essa conta aqui mais detalhada um pouco do que como está no livro certo então vamos lá certo livro ele faz ele tenta fazer uma forma mais resumida mas eu acho que não talvez não fica muito claro para uma primeira leitura então para facilitar vamos fazer essa conta realmente como a

Gente está habituado dizer que isso aqui é equivalente a isso né eu vou mostrar se só se eu vou mostrar que se a ela foi injetiva implica nisso e depois que isso implica nisso então primeiro vamos supor que objetiva tá o ou seja se eu tiver xyg tal que esse de x igual ápice de y então a gente tem com isso o que que o x tem que ser igual y e aí você é a definição

De injetividade agora beleza então o que a gente quer fazer a gente que é o zezinho informação para mostrar isso aqui ó então o que que eu vou fazer para mostrar que você que é verdade eu tenho que mostrar a qualquer elemento núcleo e mostrar que ele tem que ser igual esse camarada então só vai ter um que é isso aqui aí tá vamos lá seja x o alimento no núcleo

Tá então eu tenho que se dx vai dar quem é linha certo mas observe que se de x então é igual é linha que por sua vez a quem se der tá mas aí eu tenho então que para qualquer x no núcleo desse de x = b c d e mas por hipótese a priscila é o que injetiva então se essa igualdade aqui tá ocorrendo esse implica o que que o x tem que ser igual é mas como esses que

Eu tomei nuclear qualquer é de mostrar então toda elemento do núcleo resume-se apenas a elemento neutro tá bom

Transcrito do video
1º Teorema de homomorfismo de grupos 1 By Edinardo Oliveira

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