Solução Numérica de PVIs –sistemas de EDOs e EDOs de ordem superior

Parte da disciplina de Métodos Matemáticos (EQP006) do PPGEQ-UFRGS.

Até agora né problema solução numérica de problemas de valor inicial com ele 11 de primeira ordem somente então nessa aula vamos ver como generalizar né os métodos e análises para sistemas de de ossos tá e ele é loja de ordem superior mas principalmente vamos ver como é feita essa extenção ao seja através de uma informação do problema na sua forma vetorial

Similar ao que vimos lá em sistemas de equações algébricas e vão ver como resolver também problemas de valor inicial com a derrota de segunda ordem convertendo-as ao sistema de áudio de primeira ordem mostrar de exemplos as para o foco vai ser na formulação dos problemas a resolução esse usando o matlab vai ser pena na próxima aula vamos lá naquela aula eu vou

Assumir né que você já saberão então como esquematizar o problema e principalmente escreveu na forma vetorial que a justamente que vamos aprender aqui né nessa aula vamos com se é um tvi geralmente com n variáveis independentes en10 por exemplo a conheci vocês já viram lá é ator com quatro cinco componentes ou concentração e temperatura então sistema equação

Diferencial cada um tá note que o primeiro passo a escrever todas as equações naquela forma padrão que a gente usou nas aulas anteriores a derivada igual alguma coisa que vão chamar de é a diferença que essas r só agora além de envolver o tempo ea variável né que é dependente pode devolver outras variáveis dependentes atreladas à outras equações diferenciais

A lógica vai ser bem simples se inscreveu problema uma forma vetorial tá equivalente né a forma variado da mesma forma com a gente fez um estudo de equações de sistemas equações algébricas na aula 11 essa forma aqui olha a y = f análogo a fórmulas religiosas de uma variável que estudando as aulas anteriores então a ideia de nada não há 11 nós criamos um vetor

Como chama de vetor y a contendo as condições a serem determinados a yy2 até vão ele a vou chamar de vetor y em um vetor f então não vai ser mais uma função mas é um vetor de funções a um de cada linha corresponde a uma das é fiz aqui da do seu sistema de equações a naturalmente as condições iniciais você incorporadas também o vetor com a mesma estrutura

De y vocês rola dy50 y 2 e assim por diante a vamos ver aqui o exemplo de conversão de sistemas dessa forma tutorial a gente vai cruzeiro resolver na próxima aula nós temos aqui ó a reações consecutivas a a forma do beco forma ser uma plástica esse médica então nós temos as três condições iniciais então basicamente a gente vai fazer a escrever esse problema

Nessa fora porque eu ver que não matlab basta definir vetores free que a função que retorne em vetor de funções f o diretor de isso tá então se o que é fundamental lá para gente resumo sistemas bate lá então naturalmente a y quanto vai contemplar as três vales a c a c b e c y d que muitas vezes a gente não vai colocar explicitamente o que a gente sabe que tá

Falando de equações diferenciais e pra gente sabe se a ser vez estão função de ter então a gente acaba só simplificando né nessa forma elas enxuta então tá me dizendo aqui na mesma coisa são todas as funções a naturalmente a função f ela vai entrar então cada linha corresponde a uma das equações aonde será que vai ser meu neném tu um da ycd lamento dois

Aí não aparece os explicitamente mas seria elemento 3 a importante que se mantenha sequência ou seja se eu tenho cê aqui eu tenho que colocar a função do desse adp ocb receber de te e assim por diante não por causa disso e o vetor de condições iniciais a é basicamente colocar na o que o valor da condição inicial de cada variável tem uma vez que o sistema escrito

Dessa forma deve-se desenvolver a métodos que tratam o problema que eu conheci a uma forma vetorial a extenção para a maioria dos métodos apresentados ela é trivial onde basta substituir nas equações interativas a solução no ponto ii pelo vetor de soluções de ponto ii e o cálculo da inclinação cobertura f como nesse exemplo esse coração de vocês já viram

Lá nas aulas anteriores sobre o método de cristo basicamente a gente troca o y pelo vetor y e o hector victor f a mesma coisa para o médico bico de quatro horas a nós temos aqui a mesma equação onde no lugar do yt coloca o vetor y e agora as inclinações intermediárias aquela sascar estação também territoriais calculados a partir da função do vetor f avaliado

Em diferentes povos a nossa esses métodos se reduzem naturalmente um metro original quando nossa temos uma variável então por que que se importa o que tu é útil nas aulas anteriores sobre as características dos métodos uma pessoa precisão a sua ordem de aproximação a sua estabilidade ser implícito e explícito certo tá vai se estender naturalmente quando se

Aplicasse temos agora vamos ver como resolver então a resoluções gente vê na próxima aula vamos ver como resolver problemas de valor inicial como é de voz de ordem superior a ideia é reduzir o mais legal de ordem n a n d hoje primeira hora não seja um sistema com ele equações que resolveram então conforme o que a gente discutiu nos slides anteriores a nós não

Usamos uma estratégia dessa natureza para resolver de áudio segunda ordem lá no início da disciplina por isso eu pego uma ideia de segunda ordem converte duas separado de primeira ordem ta a lógica vai ser a mesma aqui ó o série que eu tenho por onde eu não sei lá envolvendo mais biótico da hora eu escrevo ela desse tipo a derivada segunda igual baer que vai ser

Naturalmente de ter de y funcionalmente da o pinheiro as condições iniciais não se essa é um problema de valor inicial temos duas condições até puseram no centro conhecer o valor da função o chamado não zero e o valor da derivada nesse ponto eu disse aqui como chama de y60 eu tô como que a gente fez uma primeira área nos eles não sei se vocês verem a gente tem

Uma variável auxiliar tá lá a gente já vou dizer que não chamo de um tá é onde ela é definida como de ydt a com essa mudança de variável que a gente faz a gente reescreve a ideal usando essa variável auxiliar então a cio é de i&dt d2y de t = devo de que é o seu aplicação mudança aqui ele chega aqui tá e a única coisa que eu mandei na minha equação ft

Yo y e onde aparecer a derivada eu troco por um tá tão em outras palavras a a a ideia de segunda ordem ela equivalente um sistema de duas e de nosso porque duas lideranças uma primeiro lugar nos vão ter duas variáveis de sistema a própria y ea variável auxiliar google uma das nebulosas é a própria mudança de variável y é igual ao ou seja se instalando equação

Diferencial para y faz o papel da ah tá esse genérica aqui ó tá é uma própria variável auxiliar definição é uma equação diferencial para resolver para aí você função de ter conhecido o naquele instante só que daí deu de t = ft ivo ou seja a situação aqui original como a mudança de variável aplicada às condições iniciais são naturalmente definida

Só yy0 só que agora como é a derivado a derivada avaliado em zero corresponde algo avaliados é eu tenho com 0 né igual a y m tá e mudança de ares análogas podem ser aplicados para tratar e de ordem mais alta hora então vamos ver talvez olhando um exemplo prático fica mais fácil mas a ideia seguinte converter moeda de segunda ordem no sistema de duas e deus que

Sempre vai ter essa cara sem tá basta fazer a mudança de variável nessa função é então vamos lá vamos a um exemplo a gente vai resolver na próxima alça no matlab meu chamado oscilador de uma de pó é um e adicionar na américa é uma sylador não-linear bem feito pela primeira área esse tema aqui ó menos y ao quadrado vezes beijos na obter tá me aqui é uma

Constante tá comendo chover na próxima aula o valor dessa constante silva tem um efeito marcante na as características da solução e no tipo de método numérico a ser empregado sem problema bem interessante trabalhar na faz mal então a gente já vai usar formulação pronto vamos ver como fazer aqui ó então bastante tempo em uma variável esfriar um vai ser ver

Questão de ter sempre a mesma forma e substituímos aí ó ou seja no lugar da derivada segunda tem dois ypt2 só sei que a gente já deu de que a derivada segunda quando elevada primeiro tudo que tiver y&p se repete tá a única coisa que muda toda vez que aparecer a derivada a gente troca por um então esse daí pressão de ter que a gente trocou por 11 esse é o

Nosso sistema resultante foi tensa forma a primeira equação vai ser naturalmente a mudança de vai água essa não se altera tá ea segunda equação vai ser a equação diferencial de segunda ordem com a mudança de variável aplicar só que daí a gente isola né derivada dentro de ter nesse caso fica dessa forma então nós temos a segunda equação então para resolver

Sistema passa então escrever agora na forma muito legal tá tal que nós temos aqui embaixo vamos chamar de x tá bom de x por sua vez então vamos então é só ali y ee.uu vai ser as duas variáveis dependentes a ser resolvido e o professor é f100 as duas funções correspondentes no caso y é simplesmente eo e no caso da derivada de leitura a função seria essa aqui

E as condições iniciais naturalmente também as eu te excluiu o retorno à posição inicial é y100 ah tá então e sinceras ao tá mais curti na praça nós vamos falar então como usar essa formação vetorial tá uma tilápia para resolver numericamente esse problema obrigado pela atenção até a próxima ao

Transcrito do video
Solução Numérica de PVIs –sistemas de EDOs e EDOs de ordem superior By André Muniz

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