Definição e Propriedades da Função Exponencial

1º Ano do Ensino Médio

De hoje nós vamos definir a função exponencial bom a definição ela sente a função domínio real e contradomínio real positivo que associa cada x1 b elevado a x então essa função a gente pode escrever a imagem dela e essa forma como b elevado a x é claro que nesse caso nosso objeto de estudo vai ser quando esse número b for um número o real o positivo é

Diferente de um e essa função exponencial e ela tem três propriedades que eu vou anunciar essas três propriedades e nós vamos provar essas propriedades nessa aula e mais algumas aulas para gente ficar bastante seguro na hora de trabalhar com essa função bom acho que um pedaço de são propriedade 1 x 0 então a imagem do zero que é um bebê levar a zero é um eu

Lembro em que conjunto esse nosso bebê está tão b é um número positivo diferente de um sino na verdade seguinte é a função é crescente bom então sir f de x é crescente bom então ver é maior que um só que vai e volta também se vê maior que um então função é crescente eu mesmo tô fazendo quando ela é decrescente então dizer que é petista decrescente

Equivale dizer que a base é um número que está entre 0 e 1 é que eu vou escrever o seguinte dizer que a função é crescente é dizer que se você tiver o x1 o menor que x 2 e a imagem do x1 é menor o que a imagem do x2 quer dizer que a função é decrescente quer dizer o seguinte ó se você tiver um x 1 lanús x 1 x 2 são dois elementos do domínio quase que é

Diferente né x1 diferente hoje se x 1 x 2 e a imagem do x1 é maior que a imagem dos dois isso eu quero dizer quando eu digo que a função é crescente e quando eu digo que a função decrescente terceira propriedade diz o seguinte a f x = b elevado a x e esse número b e vai ser o número maior que zero diferente de um essa função injetiva por que que ele é injetiva

Porque se você tiver x 1 x 2 x 1 diferentes dois eu vou abrir um dois casos no caso de bebê maior que um acaso de b marque onde está olhando aqui que a função acrescente-se a função foi crescente e você tiver x omenax dois a imagem do x1 é menor que imagem de x 2 e o segundo caso é quando a base é um número que tá entre série 1 e se isso acontecer a imagem

Do x1 a marca imagem de x 2 em ambos os casos a imagem do x1 é diferentes da imagem do x 2 então isso vai lá na nossa definição de função injetiva que se você tiver x 1 x 2 distintos a imagem do x1 é distinta da imagem 2 x 2 nós vamos começar provando o teste propriedade através de alguns dilemas na sala nós vamos começar pelo lema um eu vou anunciar e vou

Provar esse ela me acompanha bom então vamos dar uma olhada no alemão anunciar e para vai ser criar um diz o seguinte se vê o número real e ele que é o expoente é um número inteiro ou abrindo os casos um caso onde esse bebê é maior que um nesse caso quando bem marquei um que eu quero provar aqui belewa da l mark um equivalente ao n quiser e segundo caso quando esse

Número beatriz é um que eu quero provar é cima ^ é mark um é equivalente que o enem é menor que zero e como eu tenho aqui uma equivalência ou seja eu quero provar que isso implica isso e que isso implica isso vou pegar sumida não está sabendo duas partes a parte 1 eu vou mostrar aqui isso implica isso eu vou me concentrar aqui no caso um depois eu vou mostrar que

Vai também por causa dois bom tanto aqui ó a animar quiser implica que de elevada é mark 1 e o meu objetivo aqui e como é que era por isso é provar aqui se vale para um p natural qualquer vale também para o seu sucessor que é o pé mais um traduzido isso que tá aqui para nós problema que eu quero mostrar o seguinte lá se vale bomber levado à p bom então vale

Também um b e levado até mais um bom como é que a gente vai ver isso você fazer isso assim olha eu sei que receber e é maior que um então esse número b marque um eu vou fazer agora eu suponho eu o que vale para um bebê levado a p ou seja eu sou bom tô subindo que de levado à p é um número maior que um ponto que vem levada a um número maior que 1 que que nós

Podemos fazer eu posso pegar essa minha desigualdade aqui b maior que eu e multiplicar os dois membros dela poder elevar da p olha eu vou chegar vou chegar aqui que elevado a pia existe ver é maior e bem levado a pia só que 6 elevado a vezes b elevado a 1 é b elevado até mais um que a maior que me levado a p que a gente está supondo o que é maior que um com isso a

Gente conclui que esse b elevado apenas um também é maior que um fazendo isso aqui eu consigo mostrar que vale para todos os naturais por quê porque por causa de bebê igual a um aqui ó o caso onde ver igual um tá certo se eu bebo fumo ó se o hélio foi um elevado a 1 é ver que a gente já sabe que é maior que um como a gente acabou de mostrar que vale agora para

O que é mais um você vale para um vale por dois você vale para o dois vale por três e assim sucessivamente isso que nós fizemos aqui agora é uma prova chamada prova por indução que lá na frente você vai aprender mais e vai acabar fazendo outras provas usando esse recurso vamos mostrar agora é o caso dois me acompanha tá bom vamos fazer ainda parte 1 para o

Caso dois causa dois dia seguinte 1º b é o número que está entre 0 e 1 a gente quer mostrar é que se assim ele é um número negativo ou seja se ela quiser então elevada é maior que um bom que não faz a seguinte se assim ele é menor que zero e a gente já sabe é um sobre b elevado a menos é é maior que eu já com acesso aqui no caso um quê que você estudou

Caso um dança comigo se n é menor que zero – l e a mazé e como b é o número que está entre 0 e 1 o inverso dele que é um sobreviver e vai ser um número maior então a gente cai aqui no caso um aqui eu tô em casa um como a gente já mostrou que vai lá no caso um tão ciúme é negativo então um seu bebê levado ao menos é é maior que um mas dizer que um sobre b

Elevado a menos n é melhor que um esse é o mesmo que dizer que ele elevado a n e é maior que o e como a gente já definiu anti quando o expoente tá aqui negativo então a gente acabou de provar o que queria que suelen é menor que zero então elevado a n é maior que 1 e com isso a gente conclui a parte um nesse lama o que falta agora é a gente fazer a parte 2 nestes

Dois casos vamos lá vamos fazer é bom que a gente vai fazer agora é a parte 2 fazer a parte 2 do alemão um é deus cliente que se vê elevada é maior que um então ele é maior que zero para fazer essa parte aqui eu vou lembrar um pequeno detalhe eu estou um pouquinho de noções lógicas a gente estudou que se p implica que a conta positiva ou seja algo que valentes

É dizer que não que implica não ter essa fácil de você lembrar se você pensar no seguinte ó se você é carioca então você é brasileiro ou seja carioca implica brasileiro não brasileiro ou seja se você não é brasileiro então você não é carioca ou seja não brasileiro implica e não coloca aqui ó ó e quem é brasileiro um conjunto de querer carioca se

Você é carioca você é brasileiro agora se você não é brasileiro então você não é carioca por que que nós vamos fazer então fazer é o seguinte e eu vou mostrar aqui se isso não acontece bom então isso aqui também não acontece que exatamente isso não que implica e não perder então eu vou fazer o seguinte supondo um n um número menor que ou igual a zero

Se ele é menor que ou igual a zero nós temos menos l maior que ou igual a zero aí vamos lá duas partes seu hélio fazendo elevado a zero a gente já sabe e da primeira parte primeira parte minha mão que nós provamos agorinha mas sabemos o seguinte ó e se – n é maior que zero então de elevado a menos é é maior que 1 bom então o que a gente tem é isso aqui sim –

É maior que ou igual a zero então elevado a menos ele é maior que ou igual o que que eu vou fazer agora eu vou pegar isso aqui e vamos explicar uber levado a ele o tipo hipótese é um número maior que 1 então como eu sei que esse meu bem elevado a n não esse meu bem levado em um número positivo esse problema é dela número positivo então eu não vou mudar em nada

O sinal de desigualdade então multiplicando olha só o que que nós temos b levado a n meses de b elevado a menos ele é maior que ou igual a mim elevado aí só que b elevado a n vezes b elevado a menos l é um e então chegamos a conclusão de que um é maior que ou igual a b elevado a r então nós compramos o seguinte só que quando não acontece isso bom então não

Acontece isso a gente consegue provar que não aconteceu isso não acontece isso porque a gente acabou de lembrar das noções de lógica se acontece isso então acontece isso com isso a gente termina a demonstração da parte 2 mas só do caso um em que o bebê era maior que um a gente vai fazer agora no caso dois uma parte do caso 2 também é bem rapidinho como é que

A gente vai fazer simples a gente pensa no seguinte em cima elevado a n é maior que um ele quer dizer o que é um sobre b elevado a menos ele é nada que um bom agora é só se eu não sou bebê elevado a menos n é maior que um pelo que nós vemos da parte hum não sei que menos ele é maior que zero dizer que menos é mais quisera e aí esse é o mesmo que dizer que ele

É menor que zero e com isso a gente faz a volta ou seja a parte 2 tanto no caso quando o bebê maior que um tanto no caso quando o bebê é um número que está entre 0 e 1 e com isso a gente termina e a nossa demonstração do alemão o nosso próximos vídeos nós vamos falar um pouquinho mais demonstrar quando o expoente é um número racional e quando o expoente é um

Número irracional um abraço até nossa próxima aula

Transcrito do video
Definição e Propriedades da Função Exponencial By Portal da Matemática OBMEP

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