Why we got zero flux in divergence theorem example 1 | Multivariable Calculus | Khan Academy

Intuition as to why we go no net flux in the last worked example

No último vídeo usamos o teorema da divergência para mostrar que o fluxo através desta superfície agora que é igual à divergência de f ao longo ou somado em toda a região é igual a zero e o que eu quero fazer neste vídeo é pense um pouco sempre que você receber uma resposta como zero você quer pensar por que isso está dizendo que não há fluxo líquido

Através desta superfície bem aqui ou se você somar todas as divergências neste volume você está recebendo zero então porque é que a maneira simples de pensar sobre isso é quando tomamos a divergência de f este campo vetorial f é difícil de visualizar mas a divergência de f é bastante fácil de visualizar a divergência é igual a 2 vezes x então aqui você

Vai conseguir à medida que avança cada vez mais nesta direção à medida que x se torna maior sua divergência se torna cada vez mais positiva então você tem muito você tem uma divergência de dois bem aqui você tem uma divergência de um ao longo de na linha e você tem uma divergência de zero ali e isso também é verdade, obviamente, à medida que você vai

Mais alto, porque você está apenas mudando o z, você não está mudando o x, então aqui você tem divergência positiva ali, você tem adjuntos positivos e não apenas ao longo desse plano mas se você for na direção x também nesse tipo de toda essa região do espaço você terá divergência positiva eu ​​acho que você poderia dizer no lado x positivo de r

Do nosso octante mas então quando você for nesse lado do outro lado você tem divergência negativa e este diagrama é simétrico em relação ao plano z y e então essas divergências as cancelam você teria um fluxo positivo através da superfície ou valor positivo aqui ao invés de calculá- lo para esta região nós havíamos calculado para uma região que estava

Apenas entre zero e um de x, então vamos pensar nessa região para que a região que seria cortada bem aqui que teria sido cortada bem ali e então a parte de trás eu acho que você poderia dizer que a parede de trás disso teria sido o plano z-y agora se nos importamos com isso se nos importamos com este volume então estamos essencialmente eliminando o resto então

Deixe-me tentar eliminá-lo da melhor maneira que puder mudar as cores, então se eu eliminar essa parte ali e tudo talvez até o que vemos tudo isso eu deveria ter excluído isso primeiro, então se eliminarmos a parte de trás disso e estamos apenas lidando com isso quando x é positivo, então toda a nossa solução que fizemos no último vídeo seria exatamente a mesma,

Exceto que agora x vai variar entre em vez de negativo um e um vai variar entre zero e um e então nossos limites de integração x vão entre zero e um zero e um e então nessa situação nossa resposta final esta parte seria entre zero e um que seria zero e nós ficaria com três metades menos metade t três metades menos uma metade é um menos um seis que será apenas

Cinco seis e então quando você pensar nesta parte deste lado deste que acabei de desenhar você teve um fluxo positivo de 5 6 em do outro lado você tinha um fluxo negativo de 5 6 e então eles cancelaram uma maneira de interpretar isso é se você pensar sobre isso inteiro se você pensar em toda a superfície como o que vimos no último vídeo que você teve um fluxo

De entrada agregado no último vídeo é por isso que foi negativo e isso é completamente compensado por um fluxo de saída aqui o positivo ou você teve uma divergência negativa naquela outra região e você tem uma divergência positiva que compensa completamente nesta região à direita por aqui

Transcrito do video
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